Wektory

Wektor to wirtualny obiekt matematyczny któremu przypisujemy szereg danych liczbowych.

Wektory mogą służyć na przykład do:
- opisania prostej
- opisania kierunku
- opisania siły, przyspieszenia itd.

Wektor symbolicznie oznaczamy literą łacińskiego alfabetu ze strzałką nad nią, np: `vec a`

Wektor sam w sobie jest szeregiem liczb reprezentujących zazwyczaj współrzędne w pewnym układzie współrzędnych. Współrzędne te zapisujemy poprzez ich wypisanie, jednocześnie oddzielając kolejne współrzędne przecinkami i obejmując całość nawiasami (zwykłymi lub kwadratowymi).

Przykład - dla dwuwymiarowego wektora:

`vec a = (x,y)` lub `vec a = [x,y]`

Przy czym popularniejsza jest forma zapisu z nawiasami kwadratowymi. Wyraźnie widoczne są przy tym zapisie związki wektora z innym obiektem matematycznym - macierzą.

W przypadku wektorów trójwymiarowych dochodzi po prostu kolejna współrzędna:

`vec a = (x,y,z)` lub `vec a = [x,y,z]`

Interpretacja tych współrzędnych zależy od danego problemu.

Przykład:

Przyjmijmy, że wektor `vec V` opisuje prędkość działającą na na kulkę znajdującą się po środku dwuwymiarowego układu współrzędnych.

niech `vec V = [3,4]`, a prędkość będzie wyrażona w kilometrach na godzinę.

Sytuację tę na rysunku przedstawimy tak:



Dzięki temu możemy również stwierdzić, że po godzinie nasz układ wyglądałby tak:




Długość wektora

Na powyższym przykładzie widzimy że piłka poruszająca się z prędkością V pokonała pewną drogę. Jak ją obliczyć?



Długość wektora wyznaczamy na podstawie równań wynikających z twierdzenia Pitagorasa.

Długość wektora `vec V = [V_x,V_y]`

wynosi: `|vec V| = sqrt(V_x^2 + V_y^2)`

dla przykładu z kulką podstawiamy dane liczbowe i rozwiązujemy:

`|vec V| = sqrt(3^2 + 4^2)`
`|vec V| = sqrt(9 + 16)`
`|vec V| = sqrt(25)`
`|vec V| = 5`

Wektor a skalar

W artykułach często podaję wzory w dwóch postaciach: wektorowej i skalarnej.
Postać wektorowa przekazuje nam pełną informację o danym zjawisku (taką, jaką możemy otrzymać przy pomocy wektora).
Postać skalarna służy nam tylko do obliczenia konkretnej wartości z danego wzoru.

Dla przykładu:
Wektor `vec V` oznacza prędkość. Oznacza więc jej wartość, jej zwrot i kierunek (oraz punkt zaczepienia).
Skalar `V` oznacza wartość prędkości. Może więc być równy 120 `(km) / h`, ale nie przekaże nam informacji o kierunku w którym np. jechał samochód z tą prędkością.

W praktyce na poziomie liceum rzadko korzysta się w pełni z wektorów i wszystkich ich właściwości.


Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy wektorów `vec a` i `vec b` oznaczamy poprzez symboliczny zapis `vec a xx vec b`


Inne własności wektora

Możemy również definiować inne właściwości, którymi będziemy charakteryzować wektor. Są to więc jego:
kierunek,
zwrot,
punkt zaczepienia,
punk przyłożenia.

Dodatkowo w nomenklaturze matematycznej długość wektora nazywamy jego modułem.




Kierunek

Kierunek określamy zazwyczaj podając współczynnik kierunkowy prostej zawierającej nasz wektor. Z trygonometrii i wiedzy o funkcji linowej wiemy, że jeżeli `a` jest naszym współczynnikiem kierunkowym, a `alpha` jest kątem nachylenia prostej, to prawdziwe są następujące równania:

`a = tg alpha = y / x`


Zwrot

Zwrot określa w którą z dwóch możliwych stron skierowany jest wektor o danym kierunku. Warto zauważyć, że mimo iż dwa wektory mogą mieć taki sam kierunek i długość, to przeciwny zwrot czyni je zupełnie różnymi!

Ponieważ zwrot wynika bezpośrednio z współrzędnych wektora nie definiujemy go oddzielną liczbą.


Punkt zaczepienia

Dodatkowa, nie obowiązkowa do zbudowania wektora informacja, o tym gdzie w układzie współrzędnych znajduje się początek wektora, gdzie jest ona zaczepiony. Podaje się ją w formie punktu.

Jeżeli punkt zaczepienia nie jest podany, można przyjąć dowolny - zwyczajowo przyjmuje się środek układu współrzędnych.


Punkt przyłożenia

Najrzadziej wykorzystywana, również opcjonalna własność wektora. Intuicyjnie: oznacza miejsce, w które jest "wskazywane" przez wektor.