Zadania - ruch drgający

Poniżej prezentuję rozwiązania wybranych zadań ze zbioru "Fizyka i astronomia - zbiór zadań, z. rozszerzony"* oraz podręcznika "Fizyka i astronomia - część 3, z. rozszerzony"**

Nie publikuję treści zadań a jedynie ich rozwiązania dla osób posiadających zbiór / podręcznik.


Zadania ze zbioru:


Pokaż zadanie 13.1

Odp: c, ponieważ wzór na siłę w ruchu drgającym ma postać `vec F = - m omega^2 x hat i`, x oznacza w tym wzorze wychylenie.



Pokaż zadanie 13.2


Dane:

`l = 1/2 m` - długość wahadła,

`A = 1/10 m` - amplituda,

`g = 10 m/s^2` - przyspieszenie grawitacyjne ziemskie.


Szukane:

`T = ?` - okres,
równanie ruchu wahadła


Rozwiązanie:

`vec F = - m omega^2 vec x` - siła działająca na ciało w ruchu drgającym
`vec F = - m (g vec x)/ l` - siła działająca w modelu wahadła matematycznego

1. Obliczam okres

`T = 1/f`


`omega = 2 pi f`
`f = omega / 2 pi `


`T = 2 pi / omega`


`- m omega^2 vec x = - m (g vec x)/ l`
`omega^2 vec x = (g vec x)/ l`
`omega^2 =g / l`
`omega =sqrt(g / l)`


`T = 2 pi / sqrt(g / l)`


2. Wyznaczam równanie ruchu wahadła:

`x = A cos omega t`
`x = A cos sqrt(g / l) t`


3. Postawiam do danych liczbowych

`T = (2 pi) / sqrt(10 / (1/2))`
`T = (2 pi) / sqrt(20)`
`T = (2 pi) / (2 sqrt(5))`
`T = (pi sqrt(5) ) / 5`

`x = 1/10 cos 2 sqrt(5) t`

Co należało obliczyć.




Pokaż zadanie 13.3


Dane

`m = 1 / 100 kg`
`A = 2 /100`
`k = 1 N/m`


Szukane
- równanie ruchu ciężarka


Rozwiązanie

`F = -k vec x` - siła działająca w modelu sprężynki
`F = -m omega^2 vec x`

`x = A cos omega t`

`-k vec x = -m omega^2 vec x`
`-k = -m omega^2`
`k = m omega^2`
`k/m = omega^2`
`sqrt(k/m) = omega`
`omega = sqrt(k/m)`

`x = A cos sqrt(k/m) t`

`x = 2/100 cos sqrt(1/(1/100)) t`
`x = 1/50 cos sqrt(100) t`
`x = 1/50 cos 10 t`

Co należało obliczyć.




Pokaż zadanie 13.4


Dane:
`T = 2/10 s`
`x_0 = 5/1000 m`


Szukane
- równanie ruchu


Rozwiązanie

`x = A cos omega t`

`omega = 2 pi f`

`f = 1 / T`

`omega = 2 pi 1 / T`

`x = A cos 2 pi 1 / T t`

`x = x_0 cos 2 pi 1 / T t`

`x = 5/1000 cos 2 pi 5 t`

`x = 5/1000 cos 10 pi t`

Co należało obliczyć.




Pokaż zadanie 13.5


Dane:
`x = 1/5 m * cos 4 pi t` - równanie oscylatora harmonicznego


Szukane
`f = ?` - częstotliwość
`v_0 = ?` - prędkość maksymalna
`x_0 = ?` - maksymalne wychylenie


Rozwiązanie

`F = -m omega^2 x`

`x = x_0 cos omega t = 1/5 m * cos 4 pi t`

Z czego wynika, że:

`x_0 = 1/5 m`
`omega = 4 pi`

`omega = 2 pi f`
`f = omega / 2 pi`
`f = 4 pi / 2 pi`
`f = 2` Hz

`v = - v_0 sin omega t`
`v_0 = - v / ( sin omega t)`


`v_0 = omega x_0`
`v_0 = 4 pi 1/5`
`v_0 = 4/5 pi [ m ]`



Pokaż zadanie 13.6


Dane:

`m` - masa
`F = F_0 cos 1/5 t`


Szukane
- równanie opisujące zależność przyspieszenia od czasu
`omega = ?` - częstotliwość kołowa
`T = ?` - okres



Rozwiązanie

`a = a_0 cos omega t`

`F = F_0 cos 1/5 t` po obustronnym podzieleniu przez masę:
`a = F_0/m cos (1/5) t`

z czego wynika, że:

`omega = 1/5`


`T = 1/ f`

`omega = 2 pi f`
`f = omega/(2 pi)`

`T = (2 pi) / omega`

`T = (2 pi) / (1/5)`

`T = 10 pi`

Co należało obliczyć