Wzory - ruch drgający

W poniższych wzorach:
`m` oznacza masę
`phi` oznacza przesunięcie fazowe



Częstość kołowa (pulsacja)

Tak zwany "wzór na omegę" w fizyce oznacza częstość kołową (zwaną też pulsacją) i wyraża się wzorem:

`omega = 2 pi f = (2 pi) / T` [rad/s]

gdzie:
f to częstotliwość,
T to okres,
`2 pi` to miarą kąta pełnego w radianach.

Częstość kołowa jest wielkość określająca, jak szybko powtarza się zjawisko okresowe - na przykład jak szybko ziemia ponownie okrąży słońce. Zaletą używania częstości kołowej zamiast częstotliwości jest uproszczenie zapisu - symbol `pi` zostaje ukryty.

Kiedy rozpatrujemy ruchu po okręgu, częstość kołowa jest równa prędkości kątowej.


Siłą w ruchu drgającym harmonicznym

w uproszczeniu (dla małych kątów, dla których możemy zaniedbać ich sinus) siłę można zapisać jako:

`vec F = -m omega^2 vec x` `iff` `vec F = -m omega^2 x hat i`

gdzie `hat i` to wektor jednostkowy z `vec x`



`vec F = - m (g/ l) vec x` - siła działająca w modelu wahadła matematycznego
`vec F = -k vec x` - siła działająca w modelu sprężynki




Równanie ruchu drgającego harmonicznego


`x = x_(max) sin (omega t + phi)`



Kiedy analizujemy ruch od położenia równowagi to przesunięcie fazowe `phi = 0`, więc:

`x = x_(max) sin (omega t)`



Kiedy analizujemy ruch od położenia maksymalnego wychylenia przesunięcie fazowe `phi = pi / 2`.
Możemy więc uprościć wzór zamieniając funkcje sinus w jej kofunkcję:

`x = x_(max) cos (omega t)`



Uwaga: Amplituda oznaczana symbolem `A` jest dokładnie równa wartości wychylenia maksymalnego, dla tego może być stosowana wymiennie z `x_(max)` w powyższych wzorach.






Prędkość w ruchu drgającym harmonicznym

`v = - v_(max) cos (omega t + phi)`


Kiedy analizujemy ruch od położenia równowagi to przesunięcie fazowe `phi = 0`, więc:

`v = - v_(max) cos (omega t)`


Kiedy analizujemy ruch od położenia maksymalnego wychylenia przesunięcie fazowe `phi = pi / 2`.
Możemy więc uprościć wzór zamieniając funkcje cosinus w jej kofunkcję:

`v = - v_(max) sin (omega t)`


Kolejnym istotnym wzorem jest wzór na prędkość maksymalną, jaką może mieć ciało:

`v_(max) = omega x_(max)`


Informacja: minus w powyższych wzorach informuje jedynie o geometrii ruchu, w obliczeniach skalarnych można go zaniedbać.




Przyspieszenie w ruchu drgającym harmonicznym

`a = - a_(max) sin (omega t + phi)`


Kiedy analizujemy ruch od położenia równowagi to przesunięcie fazowe `phi = 0`, więc:

`a = - a_(max) sin (omega t)`


Kiedy analizujemy ruch od położenia maksymalnego wychylenia przesunięcie fazowe `phi = pi / 2`.
Możemy więc uprościć wzór zamieniając funkcje sinus w jej kofunkcję:

`a = - a_(max) cos (omega t)`


Kolejnym istotnym wzorem jest wzór na przyspieszenie maksymalne, jaką może mieć ciało:

`a_(max) = omega^2 x_(max)`


Informacja: minus w powyższych wzorach informuje jedynie o geometrii ruchu, w obliczeniach skalarnych można go zaniedbać.




Energia w ruchu drgającym harmonicznym

`{(E_p = (k x^2)/2),(x = x_max sin (omega t + phi)):}`

`E_p = (k x_(max)^2 sin^2 (omega t + phi))/2`


Ponieważ wartość energii potencjalnej będzie niezerowa tylko dla ciał nie znajdujących się w momencie równowagi, przesunięcie fazowe `phi != 0`. W zakresie licealnym rozpatruje się tylko jeden szczególny przypadek maksymalnego wychylenia, kiedy `phi = pi /2`. Oznacza to, że we wzorze sinus zmienia się na cosinus.

`E_p = (k x_(max)^2 cos^2 (omega t))/2`


`{(E_k = (m v^2)/2),(v = v_max sin (omega t)),(v_max = x_max omega):}`

`E_k = (m v_(max)^2 sin^2( omega t))/2` `iff` `E_k = (m x_(max)^2 omega^2 sin^2 (omega t))/2`


Uwaga: energia potencjalna i kinetyczna podczas ruchu wahadła czy innego oscylatora sumuje się do stałej wartości.




Ruch drgający harmoniczny - podsumowanie

`vec F = -m omega^2 vec x` - ogólny wzór siły w oscylatorze harmonicznym
`vec F = - m (g/ l) vec x` - wahadło matematyczne
`vec F = -k vec x` - sprężynka

`x = x_(max) sin (omega t + phi)`
`v = - v_(max) cos (omega t + phi)`
`a = - a_(max) sin (omega t + phi)`

`omega = 2 pi f`

`E_p = (kx_max^2 cos^2 omega t)/2`

`E_k = (mv_max^2 sin^2 omega t)/2`





Prawo załamania fal

`(sin alpha) / (sin beta) = v_1 / v_2`



Natężenie fali

`I = (Delta E) / (Delta S Delta t)`

jednostka: `W/m^2`


Siła powodująca ruch wahadła matematycznego - To się w zadaniach nie przydaje, ale ważna teoria

`F = mg sin (alpha)`

gdzie:

`alpha` - kąt wychylenia od położenia równowagi
`m` - masa przedmiotu zawieszonego na nici
`g` - przyspieszenie grawitacyjne ziemskie