Liczby urojone i zespolone

Liczby urojone

Pokaż przypomnienie ograniczeń działań na zbiorze liczb rzeczywistych.


W zbiorze liczb rzeczywistych wiemy, że rozwiązaniem równania:

`x^2 = 4`

Jest dwuelementowy zbiór:

`x in {-2,2}`


a rozwiązaniem równania:

`x^2 = 0`

jest liczba 0 (`x=0`).


Wiemy też, że dla `x in RR`, równanie `x^2 = -1` nie ma rozwiązań.


Nie potrafimy więc wyznaczyć liczby, dla której `x^2` będzie równe liczbie ujemnej.



Definicja

Teoria liczb urojonych dyskutuje o takich liczbach, które podniesione do kwadratu dają liczby ujemne.



Jednostka podstawowa

Jednostka podstawowa, oznaczana jest w matematyce przez małą literę alfabetu greckiego `i`, natomiast w fizyce - przez literę `j`. Ma to na celu rozróżnienie chwilowej wartości prądu oznaczanej zwyczajowo również literą `i` od jednostki podstawowej.

Tak więc:

`i: i^2 = -1`


Pozostałe liczby urojone

Każdą liczbę urojoną `a` można zapisać przy pomocy równania:

`a = i * b`

gdzie:

`i` to jednostka podstawowa,
`b` należy do zbioru liczb rzeczywistych.


Dowolną liczbę urojoną `a` możemy więc zapisać przy pomocy układu:

`{(a = i * b),(i^2=-1),(b in RR):}`


Liczby zespolone

Liczby zespolone są połączeniem liczb rzeczywistych i liczb urojonych, a ściślej - sumą liczby rzeczywistej i urojonej.

Każdą liczbę zespoloną `z` można zapisać przy pomocy równania:

`z = a + i * b`

gdzie:

`i` to jednostka podstawowa,
`a`, `b` należą do zbioru liczb rzeczywistych.


Dowolną liczbę zespoloną `z` możemy więc zapisać przy pomocy układu:

`{(z = a + i * b),(i^2=-1),(a in RR),(b in RR):}`



Część rzeczywista

Część rzeczywistą liczby zespolonej `z` zdefiniowanej, jak wyżej określamy jako:

`re` `z = a` (od łacińskiego rzeczywista - realis)



Część urojona

Część urojona liczby zespolonej `z` określamy jako:

`im` `z = b` (od łacińskiego urojona - imaginaria)


Każda liczba rzeczywista może być przedstawiona jako liczba zespolona o części urojonej równej 0.


Reprezentacja wektorowa

Każdą liczbę zespoloną możemy przedstawić jako wektor.

Najpierw stwórzmy układ współrzędnych, w którym:
- zamiast osi OX będziemy używać osi Ore
- zamiast osi OY będziemy używać osi Oim



Pierwszą współrzędną wektora będzie część rzeczywista, drugą - część urojona.



Pomiędzy osią Ore a ramieniem wektora możemy zdefiniować kąt `phi`



Prawdziwe wówczas będzie równanie:

`tg(phi) = b/a`



Moduł liczby zespolonej

Moduł z liczby zespolonej `z` oznaczamy jako `|z|` i wynosi:

`|z| = sqrt(a^2 + b^2)`